| 维度 | 具体目标 |
|---|---|
| 知识与技能 | 掌握二维前缀和构建与查询公式、二维差分四角改法；独立完成地毯覆盖与激光炸弹。 |
| 过程与方法 | 经历「一维 → 二维」的类比推广过程，掌握用容斥而非记忆推导公式的方法。 |
| 情感态度 | 建立「公式可以现场推」的自信，消除对长公式的恐惧。 |
| 环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 |
|---|---|---|---|
| ① 引入 4′ | 第 2 页并列一维 / 二维公式，提问「哪里变了、为什么」。 | 对比两张表，归纳出「2 处 → 4 处」的规律。 | 用类比降低陌生感，明确本讲只是一维的推广。 |
| ② 构建公式 9′ | 第 3 页用面积图讲容斥；第 5 页模拟器逐步点亮 S[i][j]。 | 跟着模拟器口算每一步三项来源与结果。 | 把抽象公式拆成可跟随的步骤。 |
| ③ 查询公式 7′ | 第 4 页讲「减两加一」；教 1×1 特例验公式法。 | 用 1×1 特例验证自己记的公式对不对。 | 授予可迁移的自检手段。 |
| ④ 二维差分 8′ | 第 6 页黑板上画 3×3 区域，逐格推演四角影响。 | 在草稿上独立推一遍右下角的符号。 | 攻克最易错点（右下角符号）。 |
| ⑤ 地毯 8′ | 第 7–8 页讲评；上机提交 CARPET。 | 提交并自查数组尺寸与行末空格。 | 落实二维差分模板。 |
| ⑥ 激光炸弹 7′ | 第 9–10 页先让学生踩 R=10⁹ 的坑，再讲 min 截断与坐标平移。 | 上机提交 LASER，观察大数组与超时问题。 | 培养范围意识与内存意识。 |
| ⑦ 小结 2′ | 第 12 页 6 条自检齐读。 | 齐读并标记薄弱条。 | 固化为可执行动作。 |
d[x2+1][y2+1] 是 += 不是 −=。② 数组只开 n：要用 x2+1、y2+1，必须 n+2。③ 忘记坐标平移：点坐标含 0，不 +1 就会覆盖第 0 行导致公式失效。④ R 不截断：i−R 为负 → 越界 RE。⑤ 大数组放 main：100MB 爆栈，必须全局。⑥ 行末多余空格：Presentation Error。| 等级 | 标准 |
|---|---|
| 达标 | 能独立写出地毯覆盖并通过 OJ。 |
| 良好 | 能解释二维差分四个角的符号由来，并独立完成激光炸弹。 |
| 优秀 | 能现场用容斥推导出子矩阵和公式，并自主发现并处理 R 截断、坐标平移等边界。 |
① 默写两个模板；② 完成「最大子矩阵」拓展题（4×4 矩阵答案为 15）；③ 思考：如果矩形修改与单点查询交替进行，二维差分还够用吗？