椰程信奥 · 教案
数学1 · 教案
课题
CSP复赛专题18 · 数学专题1（整除 · gcd/lcm · 质数 · 分解质因数） —— 对应视频 32′10″，课件 14 页
教学目标
| 维度 | 内容 |
|---|
| 知识与技能 | ① 写出欧几里得算法（迭代/递归）；② 用"先除后乘"求 lcm；
③ 试除法分解质因数；④ 用公式求约数个数与约数和；⑤ 完成 P1029 与约数统计两题。 |
| 过程与方法 | 公式计算后必须暴力核对一次。 |
| 情感态度价值观 | 认识边界条件与整数溢出的隐蔽性，养成"大数据也要试"的习惯。 |
教学重难点
重点：欧几里得算法；分解质因数；约数个数/约数和公式。
难点：t > 1 剩余质因子的处理；a*b 溢出。
教学过程
| 环节 | 页码 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 |
|---|
| 基础 | P2 | 成对枚举 | 手算 | 建立 √n 意识 |
| gcd | P3–4 | 动画① + 代码 | 口述余数 | 核心算法 |
| 分解 | P5 | 动画② | 分解 360 | 算术基本定理 |
| 公式 | P6 | 动画③核对 | 先猜再验证 | 自验证习惯 |
| 枚举 | P7 | 动画④ | 找特判 | 突破难点 |
| 例题 | P8–9 | P1029 + ABC180C | 推导 | 落地真题 |
| 检测 | P10–11 | 五题 | 独立完成 | 形成性评价 |
板书设计
gcd(a,b) = gcd(b, a%b) → O(log n)
lcm = a / gcd × b（先除后乘，防溢出）
n = p₁^e₁ · p₂^e₂ · … → d(n) = ∏(e+1) s(n) = ∏(p⁰+…+p^e)
★ if (t > 1) cnt *= 2 ★ i != n/i
易错预警
① a*b 溢出（先除后乘）；② 完全平方数重复计（判 i != n/i）；
③ 漏掉剩余质因子（t > 1）；④ i*i 溢出；
⑤ n < 2 未特判（把 1 当质数）。
作业
- 必做：OJ 题包 GCDLCM（最大公约数和最小公倍数问题）、DIVCNT（约数个数与约数之和），要求 AC。
- 选做：ABC180C 风格——输出一个数的所有约数（升序），要求循环只到 √n。