🇨🇳 国庆集训 · 信息学奥赛 CSP 复赛冲刺专题 · 教案

《枚举——先枚后优》教学设计 CSP 复赛专题 2 · 90 分钟连堂（2 课时） · 面向已掌握 C++ 数组与多重循环的选手

🎯 课型：算法专题新授课 + 上机实践课 💻 环境：机房 + 椰程信奥 OJ 在线评测 📺 参考课例：B站 BV1NWnczEE9Z《CSP复赛专题2-枚举》（12′47″）

基一、教案基本信息

课题枚举——先枚后优（CSP 复赛专题 2）
学段 / 对象初中高年级 · 高中（CSP-J/S 复赛方向集训队） 前置基础C++ 基础语法、一维与二维数组、多重循环、字符与整数转换
课型算法专题新授课 + 上机实践课 课时2 课时连堂，共 90 分钟（亦可拆为 45′+45′）
教学环境机房（每人一机）、投影、椰程信奥 OJ 题库（题号 ENUM258B / ENUM265C）
教材依据 ① CCF《CSP-J/S 认证大纲》入门级「基础算法」条目中的枚举（穷举）；
② 《普通高中信息技术课程标准（2017 年版 2020 年修订）》选择性必修《算法初步》模块—— 「通过具体案例理解枚举、递推等基本算法思想，分析算法的时间效率，并用程序设计语言实现」。
（以上为概括性引用，非逐字原文；集训讲义以本校下发的最新大纲为准。）
配套资源 互动课件 HTML（14 页） 说课稿 椰程信奥题目包 zip 原题与答案.md

源二、参考课例时间轴还原

课例来源：B站 BV1NWnczEE9Z《CSP复赛专题2-枚举》，时长 12′47″（767 秒），UP 主「呆呆小可旺」。 课例为幻灯片微课（非课堂实录），以下时间轴由逐帧抽图识读还原，作为本教案的环节设计依据。

时间点环节内容要点本教案对应
0:00封面「CSP 复赛专题 · 专题2-枚举」—
0:45枚举是什么 + 三步骤暴力枚举/穷举定义；建模型 → 减空间 → 选顺序环节②（扩为四步法）
1:30枚举常见题型四大类八小类：基础枚举（数值/字符串）、组合枚举（子集/排列）、算法结合（+贪心/+DP）、场景枚举（生活/游戏）环节③（题型地图）
3:20真题一 题面[ABC258B] 数字盒子：N×N 循环网格，8 方向，走 N−1 步拼数，求最大环节④（25′）
4:45铺开推演把环绕后的网格横向铺开 4 组，示范「为什么答案是 9786」
5:15代码走读方向数组 + 三重循环 + 取模环绕；起点变量写在方向循环之外
9:10真题二 题面[ABC265C] 传送带：H×W 网格按格中箭头走，求停点或 −1环节⑤（25′）
9:40推演「为什么是 −1」走进环里就永远出不来
10:00代码走读vis 标记数组判环；先判出界再前进
12:20收束回到「枚举三步骤」收尾环节⑦（小结）
本课例的两处局限，本教案已针对性补强：
① 课例为录播讲解，缺少学生思维暴露与形成性反馈——本教案在环节③、⑥各增设一次「先投票、后讲理」，共 8 处即时判分；
② 课例代码把起点变量 int x=i, y=j; 写在方向循环之外。这种做法在环形网格上其实恒正确（环面平移一一对应、每个格子恰好走到一次，与步数、N 是否互质无关）， 只有换成普通（有墙）网格才会漏组合、出错（详见环节④「易错预警」）。 本教案按「理解它为何在环形网格恒对、但工程上仍一律写在循环内部」处理，把它转化为一个迁移性认知教学点。

情三、学情分析

维度现状教学对策
已有基础 能熟练写 for 循环、二维数组下标访问；做过「百钱百鸡」「水仙花数」一类单层枚举题；会读题面里的输入格式。 起点定在「双层枚举要素」而非「枚举是什么」，避免重复讲授。
主要障碍一
不会拆枚举要素		 看到「求最大值」就想找规律、想贪心，不愿意先承认「可以全试一遍」；问「枚举谁」答不上来。 环节②给出四步法卡片，强制先口述「枚举谁 / 共几种 / 能不能砍 / 什么顺序 / 怎么自查」，再动键盘。
主要障碍二
不会估算规模		 对 8N³ 的量级没有概念，既不敢枚举（怕 TLE），也敢乱枚举（N=2000 也写三重循环）。 环节②做一次「心算 8N³」；环节③题型地图每张卡片都标上限；环节④⑤各算一次复杂度。
主要障碍三
边界与溢出		 取模忘 +N；int 装不下 10 位数；网格题下标越界 RE。 不靠口头提醒，改用测试数据说话：OJ 里专门埋了 N=1、1×1、全 9 卡 int、25 万步蛇形四组边界数据。
动机特点 集训期连续上课注意力易下滑；但对「立刻能看到评测结果」的上机环节兴趣极高。 讲练比控制在 35′讲 : 45′练；两道真题都留「现场提交看 AC」的收口动作，形成即时反馈闭环。

标四、教学目标（信息学学科核心素养四维）

核心素养本课达成目标（可观测）
信息意识 读完题面后能在 30 秒内判断「这题值不值得枚举」：先估规模，再看数据范围，而不是凭感觉。
计算思维 ① 能把「所有可能」形式化为可遍历的要素组合（起点 × 方向 → 8N² 种）；
② 会用 num = num*10 + 位 与 (x+dx+N)%N 两个建模原语；
③ 能用「完全确定的路线 + 状态重复」识别循环并判环。
数字化学习与创新 能借助课件里的八方向枚举器、传送带单步模拟器验证自己的猜想；会用 OJ 的分组数据定位自己错在哪个子任务，而不是只看总判。
信息社会责任 能说出「结果正确 ≠ 写法可迁移」：能解释视频代码为何在环形网格恒对、却在普通网格必崩，主动写可解释、可迁移的实现。
四维目标不是并列罗列：信息意识与计算思维是本课的主目标，数字化学习与创新是达成手段（贯穿上机环节）， 信息社会责任落在环节④的「视频写法辨析」与环节⑥的投票上，属于价值观落点。四个维度各有对应的可观测行为，便于课后复盘时逐条打勾。

难五、教学重点与难点

教学重点
  1. 枚举四步法：建模型（枚举谁 + 一共多少种）→ 砍空间 → 定顺序 → 会判断。
  2. 双层枚举的写法：起点 × 方向，方向循环内部重置坐标。
  3. 循环模拟 + 判环：vis 标记数组，先判出界再前进。
教学难点
  1. 难点一（思维）：从「求最优」的直觉转向「先承认可以全试一遍」，并自己估出规模上限。
  2. 难点二（实现）：环形边界的取模处理与长整型溢出，两者都会「样例过、提交崩」。

难点突破策略

难点突破策略落地动作（本课具体安排）
难点一
（思维转向）		 问题链驱动：枚举谁？→ 一共多少种？→ 要不要全枚？→ 怎么写不出错？ 环节④用课件「八方向枚举器」让学生自己点出 9786，教师只提问不给结论；环节②板书四步法卡片全程不擦。
难点一
（规模估算）		 数量级心算：把 8N³ 落到「N=10 不到 1 万次」这种可感知的量。 环节②板书右侧画「8N² ≤ 800 / 8N³ ≤ 8000」对照；环节⑤再算一次 O(HW) ≤ 25 万。
难点二
（环形取模）		 可视化先行：先把环绕网格横向铺开成平面图，再谈取模。 沿用课例 4:45 的「铺开」做法（4×4 横竖各接一份自己，共 2×2 块），课件第 6 页做成「走一步」逐步揭示的铺开图；再讲 +N 的作用。
难点二
（溢出 / 越界）		 用测试点制造失败：先让错误写法在 OJ 上真的 WA/RE，再讲原理。 题包内埋 N=10 全 9（答案 9999999999，卡 int）、1×1 网格、25 万步蛇形三组「照妖镜」数据。

备六、教学准备与材料清单

类别清单缺失时的廉价替代
软件/平台 椰程信奥 OJ（已导入 ENUM258B、ENUM265C）、Dev-C++ / VS Code + g++、投影 无 OJ 时用「本地 1.in/1.out 文件对拍」：把题包 testdata 解压发给学生对着跑，判分靠 fc 比对。
课件 互动课件单文件 HTML（14 页，零外部依赖，断网可用） 提前拷贝到教师机本地磁盘 + U 盘双份；断网不影响任何交互模块（含枚举器与模拟器）。
教具 4×4 磁贴数字方格（演示环绕）、8 方向罗盘贴纸、传送带箭头磁贴一组 用 A4 纸打印网格 + 便利贴：数字写便利贴可撕可换；方向罗盘用纸盘画米字格。
纸质材料 枚举四步法卡片（每人一张）、课堂检测 3 题答题纸 直接印在讲义背面；或用课件第 16 页当堂检测投屏口答。
分组 2 人一组（异质搭配：一名「敢写」配一名「细」） 单人一机亦可，此时把环节⑥的投票改为举手统计，不减信息量。
课前 10 分钟：教师在椰程信奥后台确认两题状态为「公开/可见」，用自己的账号先提交一次标程确认 AC， 并抽查 1.in/1.out 能正常下载——这一步不做，课上极易翻车。

程七、教学过程

整体时间轴（90 分钟连堂）
导入 5′ → 四步法 10′ → 题型地图 8′ → 真题一 25′ → 真题二 25′ → 易错辨析 7′ → 小结+检测 10′
讲练比约 35′ : 45′，另有 10′ 为检测与收束。

环节① 情境导入：枚举值多少分（5′）

环节目标把「枚举」从"最笨的办法"翻转为"复赛里最稳的拿分动作"，建立本课的价值观共识。
教师活动
「先看一张账。CSP 复赛四道题，第一题通常是模拟或枚举，满分 100。第一题 AC 的人，二等奖基本就稳了。 而第一题最常考的就是——枚举。所以今天不谈技巧，只谈一件事：怎么把枚举写对、写全、不超时。」
投影课件第 2 页「学习目标 + 课前热身」。不展开讲策略，一句话带过即切页，控制在 90 秒内。
「先做个小投票：给你一把钥匙串，10 把钥匙开一把锁，你会怎么开？」
学生活动

「一把一把试。」

「对，一把一把试——这就是枚举。它笨，但它一定对。今天我们要学的不是怎么变聪明，而是怎么把笨办法做扎实。」
板书
枚举 = 列举所有可能 + 逐个判断
用「分数值不值」开场而非「定义」开场，是因为集训学员对分数敏感，能在一分钟内把注意力收进来。 钥匙串比喻的作用是预先拆掉"枚举 low"的心理防线——后面才敢让学生承认"这题可以全试一遍"（对应难点一）。

环节② 枚举四步法（10′）

环节目标给出可迁移的操作流程；建立「先估规模再写代码」的硬性习惯。
教师活动
投影课件第 3 页四步法卡片；板书同步写下四步，本环节写完不擦，保留整节课。
「枚举不是上来就写三重循环。四步：
一、建模型——枚举哪些要素？各有多少种？必须说出一个数来。
二、砍空间——哪些情况根本不必枚举？先砍掉。
三、定顺序——从前往后还是从后往前？哪个更好写？
四、会判断——写完不算完：结果对不对，写法对不对？」
在第一步停一下，追问：「一共多少种？说个数。」学生答不出就退回上一步重新数。 再追问：「如果算出来是 10 的 8 次方，还枚吗？」留白 3 秒，不急着给答案。

「不枚了……会 TLE。」

「对。先把规模说出来，就是为了防止你在砍之前就写崩。 记住一个量级感觉：1 秒大约能跑 1 亿次简单操作。今天我们所有的题都在 1 万到 25 万这个区间，非常安全。」
第 4 步「会判断」这一分钟先只埋钩子：「今天真题一的代码走读里，会出现一段 交上去能 AC、但写法是错的代码，到时候我们回来兑现这一步。」
学生活动在四步法卡片上跟着填一遍；口算 8 × 10 × 10 = 800 与 800 × 10 = 8000。
即时判分课件第 3 页「四步法排序」小练——把打乱的四步拖回正确顺序，即时判分，全班正确率低于 70% 则重讲一遍。
板书
枚举四步法：① 建模型 ② 砍空间 ③ 定顺序 ④ 会判断
（① 里必须报出一个数字：本题 8N² = 800、8N³ = 8000）
右边对照区：1 秒 ≈ 1 亿次 ｜ 8N²≤800 ｜ 8N³≤8000 ｜ O(HW)≤25 万
课例给的是「三步骤」（建模型 / 减空间 / 选顺序），本课在其后补出第四步 「会判断」，把「结果正确 ≠ 写法可迁移」提升为流程中的一个固定动作—— 它在真题一的代码走读页兑现，也在环节⑥的投票里回收。
同时把课例第 1 步收紧为「必须说出一个数」：这正是学情里最缺的一环（既不估规模就敢乱枚， 又不会估规模而不敢枚）。板书右侧的对照区是本课唯一的"数字锚点"， 后面三个环节都要回头指它——让规模估算从事后补救变成事前动作。

环节③ 枚举常见题型地图（8′）

环节目标建立枚举题的识别图式：看到题面能归入哪一类，从而快速联想到解法骨架。
教师活动
投影课件第 4 页题型卡片，四大类依次点亮，每类只点两个小类名 + 一个例子，不展开讲代码。
「枚举不是只有一种长相，它有四张脸：
基础枚举——数值枚举（遍历区间筛数）、字符串枚举（遍历字符集匹配模式）；
组合枚举——子集枚举（位运算/递归）、排列枚举（回溯全排列）；
算法结合——枚举 + 贪心、枚举 + DP（枚举关键状态，子问题交给别的算法）；
场景枚举——生活场景（活动安排）、游戏场景（网格方向搜索，就是今天的第二题）。」
易错预警 A：「组合枚举」的子集/排列要指数级增长，N 一大就爆。 本环节只要求能认出来，不要求会写——会写是后面专题的事。要求学生在这两类卡片上标一个「⚠」。
学生活动在讲义知识树上，给四张脸各写一句自己见过的题目；邻座互查 30 秒。
即时判分课件第 4 页题型卡片的「点开看解析」：读完例面，先让学生归类再点开校对。
板书
四张脸：基础 ｜ 组合⚠ ｜ 结合 ｜ 场景
本环节是全景扫描而非精讲，8 分钟封顶。它的价值不在记住八个小类，而在让学生 以后碰到新题时有「分类检索」的抓手。⚠ 标记是为了防止学生把指数级组合枚举误当成线性枚举来用。

环节④ 真题一：[ABC258B] 数字盒子（25′）——本课主阵地

环节目标完整走一遍「读题 → 铺开推演 → 建模型 → 编码 → 提交」；突破难点一与难点二。
教师活动 4.1 读题
（3′）
投影课件第 5 页题面；带学生圈出三个关键词：N×N、上下左右相连（环绕）、走 N−1 步。
「'上下边缘相连、左右边缘相连'——这句话什么意思？走到最右边再往右一步，你在哪？」

「回到最左边。」

「这就是环形。我们待会用取模实现它。」
4.2 铺开推演
（5′）
投影课件第 6 页：右侧「铺开后 8×8」把 4×4 横竖各接一份自己，斜向走法在铺开的图上变成一条直线。点「走一步」逐步揭示 9→7→8→6，再回到左侧 4×4 环上指认同一条路线。
「环绕不好想，我们就把它铺平。斜着走 N−1 步，在铺开的图上看就是一条直线段。 谁上来指一条，把经过的数字读出来？」

「9 7 8 6……拼起来是 9786。」

「这就是样例答案。我们没用任何技巧，只是把所有走法都看了一遍。 现在数一数：起点有几个？方向有几个？一共多少种？」

「起点 16 个，方向 8 个，一共 128 种，每种走 3 步。」

板书右侧立刻记下 8N² = 128、8N³ ≈ 512，并回头指环节②的对照区。
4.3 建模型
（4′）
「两个建模原语，今天必须带走：
拼数——num = num * 10 + 当前数字；
环绕——x = (x + dx + N) % N。
为什么要 +N？因为 C++ 里负数取模还是负数，-1 % 4 是 -1 不是 3，下标直接越界。」
现场演示：把 +N 去掉，跑一次，看它 RE。让学生亲眼看到报错再改回来。
易错预警 B（长整型）：N=10 时答案最大是 9999999999，10 位数， 超过 int 的 21 亿。中间变量 num 和答案 ans 都必须用 long long。 样例 1 用 int 也能过，样例 2 必 WA——这就是最典型的"样例过、提交崩"。
4.4 方向数组
与编码
（8′）
先投课件第 8、9 页「方向数组」两页（共约 6 分钟，一页信息量已拆薄）。
第 8 页（怎么记、怎么定义）约 3′：① 让学生对着米字格把 8 组 (dx, dy) 逐个念出来； ② 追问「为什么没有 (0,0)」；③ 点右侧对照表任意一行，看米字格联动高亮。
第 9 页（怎么用、要小心什么）约 3′：讲清三个动作（先算 → 判断边界 → 安全才赋值）； 六条知识点不逐条讲，只强调「dx 管行、dy 管列」「数组长度必须等于方向数」； 最后点明起点也是枚举要素（这才是 N² × 8 的来源）。
再投课件第 10 页代码（约 2 分钟）；不直接给完整代码，先给骨架，方向数组与取模两处留空让学生口述。
// 八方向数组：先写四个角，再补四条边，别写漏
int dx[8] = {-1, -1, -1,  0, 1, 1, 1, 0};
int dy[8] = {-1,  0,  1,  1, 1, 0, -1, -1};

for (int i = 0; i < n; i++)
  for (int j = 0; j < n; j++)
    for (int k = 0; k < 8; k++) {
      int x = i, y = j;          // ← 必须写在 k 循环里面！
      long long num = 0;
      for (int c = 0; c < n; c++) {
        num = num * 10 + (g[x][y] - '0');
        x = (x + dx[k] + n) % n;
        y = (y + dy[k] + n) % n;
      }
      ans = max(ans, num);
    }
巡视重点：只看两处——x=i,y=j 是否在 k 循环内；long long 有没有写。其余错误先不纠。
4.5 写法辨析
（3′）
「参考视频里把 int x=i, y=j; 写在了方向循环外面。看起来是漏枚举了，对吧？ 但那段代码提交是 AC 的——我实测过全部 12 组数据，0 组失败。」
停顿，让"AC 了"和"看起来错了"这对矛盾在学生脑子里待 5 秒，再解释。
「原因不是巧合，而是一个可以讲清楚的道理：本题网格首尾相连，走一圈会回到原地， 所以平移是一一对应的——每个格子恰好被走到一次，既不重复也不漏。 方向 k 实际从 (i,j)+步数·方向向量 出发，无论 N 是几、走几步，绕完 8 个方向都覆盖全部 8N² 种组合，所以起点不重置也全对。
但它只在'网格首尾相连'时成立。换成普通（有墙）网格，起点会随方向漂移，大量组合被跳过而直接出错（我实测 3 万组随机数据有 22068 组不一致）。
所以工程上一律把起点写在方向循环内部。我们记住一条：结果正确不等于写法可迁移——你得说得出它在什么条件下才对。」
这是本课的信息社会责任落点。不要说"视频写错了"——视频在环形网格上的答案是对的，而且能证明； 要说"它只在环形时成立，普通网格必崩，所以我们写可迁移的版本"。这样既尊重原课例，又给了一个真实的工程判断案例。
4.6 提交
（2′）
学生现场提交 ENUM258B；教师在讲台投出实时通过人数。
「谁 WA 了，先看你是倒在第几个子任务：1~4 组 WA 基本是 N=1 或 N=2 的边界； 5~12 组 WA 大概率是 int 溢出。不要只看总判，要看分组。」
板书
数字盒子：枚举要素 = 起点(N²) × 方向(8) → 8N² 种，每种走 N−1 步 → O(8N³)
原语：num = num*10 + 位 ｜ x = (x + dx + N) % N
两个坑：long long（10 位） ｜ 起点变量必须在方向循环内
25 分钟全部压在这一题，是因为本课的算法思维要在具体题目里长出来，不是讲出来的。 4.2 的铺开推演是难点一的突破口（学生自己点出 9786，教师不代劳）；4.5 的写法辨析看似"节外生枝"， 实则是本课唯一能让学生记住一辈子的判断力训练，且直接对应四维目标中的信息社会责任。

环节⑤ 真题二：[ABC265C] 传送带（25′）

环节目标掌握「循环模拟 + 判环」；突破"确定的路线不需要 BFS"这一常见误判。
教师活动 5.1 读题
（3′）
投影课件第 11 页题面；动画演示一个 2×2 网格的走法。
「每格写着一个箭头，你站在哪就往箭头方向走一格。问你最后停在哪， 如果永远停不下来就输出 -1。先想清楚一件事：路线是确定的吗？」

「是，每格只有一个方向。」

5.2 破误区
（4′）
易错预警 C：这道题不是最短路，不要写 BFS。 网格题做多了会形成条件反射，这里必须显式拦一次。
判断标准：BFS 用于「每步有多个选择，要找最优」；本题每步只有一个选择，直接模拟即可。
「那么怎么知道'永远停不下来'？」

「走回走过的地方……」

「对。走到一个来过的格子 = 进了环 = 永远出不去。拿个本子记一下到过哪就行——vis 数组。」
5.3 单步模拟
（4′）
课件第 12 页传送带模拟器：先用样例 1点「走一步」走完 4 步，让全班一起报坐标； 再切样例 2点「自动走」，走到 (1,1) 闭合那一刻按暂停（按钮会变成「暂停」）。
工具齐了再讲：走一步 / 后退一步 / 直接走到底 / 复位，速度分慢 / 中 / 快； 讲错一步可以直接「后退一步」，不必复位重来。
「看，它又回到 (1,1) 了。回到起点的这一刻，答案就已经定了：-1。 不需要真的跑一万步。」
再演示一次「正常停下」的样例：走到边界那一格，箭头把自己送出去——停在当前格，不是送出后的格子。 最后切样例 3（4×4，走 11 格停住）与样例 4（5×5，走 15 格后死循环）： 这两组路径更长，右侧「路径记录」会逐格列出坐标，让全班顺着念一遍，把「模拟」彻底变成可见的动作。
易错预警 D：输出的是停止时你仍站在的那一格，不是"试图走到的那一格"。 这是本题第一高频 WA。
5.4 编码
（8′）
投影课件第 13 页；先写判断顺序的伪代码，再落代码。判断顺序是本环节的重点。
int x = 1, y = 1;
while (true) {
  if (vis[x][y]) { cout << -1; return 0; }   // ① 先判环
  vis[x][y] = true;

  int nx = x, ny = y;                      // ② 先算，不动
  char c = g[x][y];
  if (c == 'U') nx--; else if (c == 'D') nx++;
  else if (c == 'L') ny--; else ny++;

  if (nx < 1 || nx > h || ny < 1 || ny > w) { // ③ 再判出界
    cout << x << " " << y; return 0;            // 输出原地！
  }
  x = nx, y = ny;                          // ④ 确认安全才前进
}
「注意顺序：先算 nx/ny，判出界，安全了才真的赋给 x/y。 这样数组下标永远不会越界，vis 开 [505][505] 就够，不用开大一圈。」
巡视重点：只看判断顺序——有没有人先 vis[nx][ny] 后判出界（会 RE）；有没有人输出 nx/ny（会 WA）。
5.5 提交
（6′）
提交 ENUM265C。本题给足 6 分钟，因为它比第一题更容易在边界上翻车。
「TLE 的同学：你一定没判环。样例 2 就是个环，不判环它会一直跑。 RE 的同学：检查你有没有先访问 vis[nx][ny] 再判出界。」
若时间紧张，此处改为「基础薄弱组先只做子任务 1（40 分），保证能拿停下类的数据」。
板书
传送带：路线确定 → 直接模拟，不用 BFS
顺序：① 判环(vis) → ② 算 nx/ny → ③ 判出界 → ④ 才前进
输出：停止时所在的格子 ｜ 复杂度 O(HW) ≤ 25 万
与第一题的「枚举所有可能」形成对照：第一题是"很多条路，全试一遍取最优"， 第二题是"只有一条路，跟着走到底"。两题并置，学生才能分清「什么时候用枚举、什么时候用模拟」。 5.5 留 6 分钟而非 2 分钟，是因为本题的边界错误更隐蔽，需要现场纠偏的时间。

环节⑥ 易错辨析：先投票，再讲理（7′）

环节目标暴露前概念，把四个易错点从"听过的提醒"变成"自己判断过的事"。
教师活动
投影课件第 14 页四条判断，先举手投票、报出比例，再逐条讲理。顺序不可颠倒——先讲理就没人暴露真实想法了。
#判断题结论讲理要点
1N=10 的数字盒子，答案最大是 9999999999，用 int 装得下。✗ 错int 上限约 21 亿，只有 10 位的一半。必须用 long long。
2环形取模时 (x + dx) % N 就够了，不用 +N。✗ 错C++ 负数取模仍为负，下标直接越界 RE。
3传送带每格只有一个方向，是确定的路线，可以用 BFS 求最短路。✗ 错BFS 用于"多选择找最优"；本题无选择，只需模拟 + 判环。
4起点变量写在方向循环外面，只要提交 AC 了，写法就是对的。✗ 错本例在环形网格上确实恒对（可证），但普通（有墙）网格立刻漏组合出错。结果正确 ≠ 写法可迁移。
「第 4 条如果还有超过三分之一的同学举手说'对'——说明我环节④没讲透， 那我再补一句：我们写的代码要能迁移到下一道题，不是只赢这一道题。」
板书
结果正确 ≠ 写法可迁移（第 4 条单独圈红）
四条判断一一对应本课四个最易错的认知点（长整型 / 取模 / BFS 误用 / 环形恒对≠普通可迁移）， 不是泛泛的"注意事项"。教师可以直接用举手比例判断哪个点没打透——这是本环节唯一的形成性评价数据。

环节⑦ 小结与当堂检测（10′）

环节目标形成知识结构；用 3 道题检验目标达成度。
教师活动
投影课件第 15 页知识树 SVG，从下往上点亮：枚举定义 → 四步法 → 两个原语 → 判环 → 四张脸。
「今天带走三句话：
一、枚举 = 列举所有可能 + 逐个判断；
二、写之前先算规模，8N³ 不到一万次，放心枚；
三、结果正确不等于写法正确。」
发当堂检测答题纸（3 题，5 分钟）；收齐后不逐题讲，只报正确率，把错题留到课后答疑。
题检测内容参考答案
1N=6 的数字盒子，枚举要素共几种？每种走几步？总操作量级是多少？ 起点 6² = 36 个，方向 8 个 → 288 种；每种走 5 步、访问 6 个格子； 总访问格数 288 × 6 = 1728（即 8N³），远低于 1 亿，可以放心枚举。
23×3 网格：第一行 RRD、第二行 LDU、第三行 UUL，从 (1,1) 出发，输出什么？ -1。(1,1)R→(1,2)R→(1,3)D→(2,3)U→(1,3) 已在 vis 中 → 成环。
3什么情况下不该用 BFS 而该直接模拟？举一条判断标准。 每步只有一个确定选择（无分支、不找最优）时直接模拟；只在"每步多个选择且要最优"时才用 BFS。
板书
今日三句话（写在板书正中，不擦）
检测题刻意不出代码题：代码能力已在两个上机环节用 OJ 实测过，这里只查概念与判断力。 第 2 题是小型手推，能区分"看懂了"和"真会了"。

板八、板书设计

左区：知识主线（整节课保留，不擦）

枚举 = 列举所有可能 + 逐个判断

四步法：① 建模型　② 砍空间　③ 定顺序　④ 会判断

两个原语：

  • num = num * 10 + 位
  • x = (x + dx + N) % N

真题一 数字盒子：起点 × 方向 = 8N² 种，O(8N³)

真题二 传送带：判环 → 算下一步 → 判出界 → 才前进

今日三句话（结课时写在正中）

右区：数字锚点 + 推演草图（可擦）

规模对照表

  • 1 秒 ≈ 1 亿次简单操作
  • 8N² ≤ 800　8N³ ≤ 8000
  • O(HW) ≤ 25 万

推演草图位（4×4 铺开图，环节④用）

易错四条（环节⑥投票后当场记下举手比例）

右区是"活板书"：规模对照表与四步法并列， 学生抬头就能比对；推演草图与投票数据属于过程性内容，课后拍照留存、下课前擦掉。

业九、分层作业与评价要点

分层作业

层级任务完成标准
基础
必做		 ① 在椰程信奥上补做 ENUM258B、ENUM265C 至 AC；
② 手写一遍 4×4 样例的八方向推演过程（把 128 种走法中的 8 种起点 ×8 方向列成表）。		 两题均 AC；推演表至少完成 1 个起点的 8 个方向。
提高
选做		 ① 把数字盒子改成求最小值，改动几行？（思考：要不要改 long long？）
② 把传送带改成输出一共走了几步，停下时输出步数、-1 时输出 -1。		 能说清改动点，并在原数据上跑通。
拓展
挑战		 ① 数字盒子变式：每一步都可以换方向（N ≤ 8），求最大——提示：DFS 回溯，规模 8^N，需要剪枝；
② 枚举 + 前缀和：在 N×N 网格中枚举所有 2×2 子方格求和的最大值，把 O(N⁴) 降到 O(N²)。		 ① 能估出 8^N 的规模并说明为什么必须剪枝；
② 能写出降维前后的复杂度对比。

评价要点（课后逐条打勾，用于复盘）

目标维度观测点数据来源
信息意识环节②「四步法排序」正确率 ≥ 70%；环节④能自己答出 8N² 与 8N³。课件即时判分统计
计算思维ENUM258B、ENUM265C 通过率；错误集中在哪个子任务。椰程信奥后台分组判分
数字化学习与创新能否用课件枚举器/模拟器自主验证猜想；能否按子任务定位错误而非只看总判。巡视记录 + 学生提问质量
信息社会责任环节⑥第 4 条判断题的举手正确率 ≥ 70%。现场举手统计
整体达成当堂检测 3 题正确率：≥ 80% 为达成，60%~80% 需下节课前 5 分钟回炉，< 60% 则需重上环节④。检测答题纸

思十、教学反思（课后填写）

反思项预留记录位
时间实测
哪一环节超时/缩水
环节⑥四条投票比例
学生最高频的错误
下次要改的一件事

附十一、使用提示

一、时间不够时的砍法（按优先级）

可用时长砍法
90 分钟按本教案完整执行。
60 分钟环节③题型地图压到 3 分钟（只留四大类名称，不举例子）；环节⑥改为课后在题单里作答； 两道真题各减 5 分钟讲解、各保 12 分钟上机。
45 分钟只讲环节①②④ + 现场提交第一题；环节⑤改为课后独立完成 + 下节课 5 分钟讲评。 不要砍环节④的 4.5 写法辨析——它是本课唯一的高阶认知点。
拆成 2×45′第一节：①②③④（含第一题提交）；第二节：⑤⑥⑦（含第二题提交）。两节课开头各用 2 分钟回指板书四步法。

二、课堂节奏提醒

三、与配套材料的关系

材料用途
互动课件 HTML课上投影主线；页结构 = 本教案环节①~⑦一一对应。
说课稿 HTML用于考评/教研场景的口播稿，八说结构 + 答辩三问预案。
椰程信奥题目包 zip课前导入 OJ；题号 ENUM258B（12 组数据）、ENUM265C（13 组数据）。
原题与答案.md教师备课用，含两题完整题面、AC 代码、易错点表与测试数据设计说明。

教案依据 B站课例 BV1NWnczEE9Z《CSP复赛专题2-枚举》还原编写 · 配套互动课件与说课稿 · 2026 国庆集训