椰程信奥 · 说课稿

递推 · 说课稿（对应视频 12′03″）

一、教材与学情

本讲对应视频《CSP复赛专题13-递推》（12′03″）。在专题12讲完递归之后，本讲顺势引出它的“对偶写法”——递推：从初始条件出发，沿递推关系正向填表。通过昆虫繁殖（双数组递推）与踩方格（三状态递推）两道经典题，把“初始条件 + 递推关系”两大关键练熟，并提炼出一维 dp 填表的三步法。

学情上的典型困难：① 写得出循环，却说不清“递推关系到底依赖前面哪几步”，下标常常越界或滞后数写错； ② 昆虫题里“卵 2 个月长成成虫”的延迟，常被误写成 b[i-1]； ③ 踩方格里“向东不能从西来”的方向约束，容易被忽略，导致 r[i] 多算一项。

（配套互动课件共 18 页，含 6 个可交互动画：① 递推vs递归 ② 昆虫逐月推演 ③ 昆虫生命周期 ④ 踩方格三状态 ⑤ 踩方格路径枚举 ⑥ 通用模板。）

二、教学目标

知识与技能：能口述递推的两大关键（初始条件、递推关系）；能独立写出昆虫繁殖的 a/b 双数组递推、踩方格的 u/r/l 三状态递推；掌握一维 dp 填表三步法（初始条件→递推关系→答案）。
过程与方法：通过 6 个可交互动画，把“递推 vs 递归”“逐月推演”“生命周期延迟”“路径枚举”变成可一步一步走的过程；通过把踩方格的所有合法路径画出来数，自己确认 f(3)=17。
情感态度：体会“线性问题优先写递推”的工程判断；建立“先用样例手算一遍再写代码”的严谨习惯。

三、重点难点

重点

① 递推两大关键；② 昆虫繁殖 a/b 双数组；③ 踩方格 u/r/l 三状态； ④ 一维 dp 三步法。

难点

① “卵滞后 2 月”对应 b[i-2]（不是 b[i-1]）； ② 踩方格“向东不能从西来”导致 r[i] 少一项；③ 递推关系下标的越界保护。

四、教学过程（45 分钟）

环节	时间	教师活动	学生活动	设计意图
① 概念与套路	6′	第 2–3 页讲“递推=初始条件+递推关系”，第 4 页动画①让学生先猜递归怎么拆、递推怎么填再揭示	口头报 f(6) 两种算法的步骤	建立“正向填表”的心智模型
② 例题1 昆虫	12′	第 5 页讲题意与递推式；第 6 页动画②逐月推演，停在 b[i-2] 让学生说为什么是 2 不是 1；第 7 页动画③看生命周期延迟；第 8 页代码走读	说出“卵要 2 个月”所以加 b[i-2]	把最高频失分点（滞后数）讲透
③ 例题2 踩方格	14′	第 9 页题意；第 10 页动画④三状态逐行填，问 r[i] 为何比 u[i] 少一项；第 11 页动画⑤枚举所有路径验证 f(3)=17；第 12 页代码与化简	预测 u/r/l 各值；数出 f(3)=17	用实证巩固递推式正确
④ 通用模板	6′	第 13 页动画⑥展示一维 dp 三步法；第 14 页对比递推与递归选型	归纳三步法口诀	形成可迁移的方法
⑤ 检测	7′	第 15 页三道辨析 + 第 16 页当堂测评三题，配合椰程锦囊	完成检测	形成性评价

五、板书设计

递推两大关键：① 初始条件（最小子问题）　② 递推关系（第 i 步依赖前面哪几步）

昆虫繁殖：a[i]=a[i-1]+b[i-2]；b[i]=a[i-x]×y（i<x 为 0）　a[0]=1　★ 卵滞后 2 月 → b[i-2]

踩方格：u[i]=u[i-1]+r[i-1]+l[i-1]，r[i]=u[i-1]+r[i-1]，l[i]=u[i-1]+l[i-1]　u[1]=r[1]=l[1]=1

化简：f(n)=2f(n-1)+f(n-2)，f(1)=3，f(2)=7

一维 dp 三步法：初始条件 → 递推关系 → 取答案

六、教学亮点与反思

亮点一：用“生命周期延迟”解释 b[i-2]。第 7 页动画③把“卵产出→2 月后入成虫”画成一条带箭头的延迟线，学生一眼看懂为什么是 i-2 不是 i-1，比死记公式有效得多。
亮点二：路径枚举做实证。第 11 页动画⑤把所有合法路径一条条画出来，n=3 恰好 17 条，与递推 f(3)=17 互证——“眼见为实”比“老师说对”更有说服力。
亮点三：递推 vs 递归同屏对照。第 4 页动画①同一道 f(6)，左递归右递推，学生自己体会到“答案相同、写法不同、风险不同”。
反思：踩方格 n 较大时路径枚举会爆炸，动画只演示到 n=3，更大规模靠递推，需在课上点明分工。

七、答辩预设

问：昆虫繁殖为什么用两个数组而不是一个？
答：因为“成虫数”和“新产卵数”是两种互相依赖的状态，而且卵有 2 个月的滞后。单数组硬凑会丢失“卵何时长成成虫”这个时间差，所以拆成 a（成虫）、b（卵）最清楚，也最不容易错。